Question

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

sinⁿx

Answer 1

माना y = sinⁿ x.

इसलिए, n = 1 के लिए, y = sin x

∴ `(dy)/(dx) = cos x` i.e. `(dy)/(dx) = sin x = cos x`

2 के लिए, y = sin² x

∴ `(dy)/(dx) = (d)/(dx) (sin x sin x)`

= (sin x)' sinx + sin x (sin x)'        [Leibnitz गुणन सूत्र के अनुसार,]

= cos x sin x + sin x cos x

= 2 sin x cos x     ...(1)

n = 3 के लिए, y = sin³ x

∴ `(dy)/(dx) = (d)/(dx) (sin x sin^2 x)`

= (sin x)' sinx² + sin x (sin² x)       [Leibnitz गुणन सूत्र के अनुसार,]

= cos x sin² x + sin x (2 sin x cos x)     [(1) का उपयोग करके]

= cos x sin² x 2 sin² x cos x

= 3 sin² x cos x

मान लीजिए कि `d/dx (sin ^n x) = n sin ^(n - 1) x cos x`

मान लीजिए हमारा कथन n = k के लिए सत्य है।

अर्थात, `d/dx (sin ^k x) = k sin ^((k - 1)) x cos x`      ...(2)

विचार करें,

`d/dx (sin^(k + 1) x)` = `d/dx (sin x sin^k x)`      

= (sin x)' sinx^k x + sin x (sin^k x)                   [Leibnitz गुणन सूत्र के अनुसार,]

= cos x sin^k x + sin x (k sin^{(k - 1)} x cos x)       [(1) का उपयोग करके]

= cos x sin^k x  + k sin^k x cos x

= (k + 1) sin^k x cos x

इस प्रकार, हमारा कथन n = k + 1 के लिए सत्य है।

अतः गणितीय आगमन द्वारा , `d/dx(sin^n x)` = n sin^{(n - 1)} x cos x