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प्रश्न
नीचे दिए गए प्रश्न में, स्वेच्छ अचरों a तथा b को विलुप्त करते हुए दिए हुए वक्रों के कुल को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए।
y2 = a (b2 - x2)
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उत्तर
y = a(b2 - x2) … (i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर
`2"y" "dy"/"dx" = "a" (- 2"x")`
या `"y" = "dy"/"dx" = - (2"x")` .... (ii)
पुन: अवकलन करने पर
`"y" ("d"^2 "y")/"dx"^2 + ("dy"/"dx")^2 = - "a"`
समीकरण (ii) से
`"y" = "dy"/"dx" = ["y" ("d"^2 "y")/"dx"^2 + ("dy"/"dx")^2] "x"`
`"y" = "dy"/"dx" = "xy" ("d"^2 "y")/"dx"^2 + "x" ("dy"/"dx")^2`
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प्रथम चतुर्थांश में ऐसे वृत्तों के कुल का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए जो निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करते हैं।
अवकल समीकरण `dy/dx + sqrt((1 - y^2)/(1 - x^2))`= 0, जबकि x ≠ 1 का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
दर्शाइए कि अवकल समीकरण `dy/dx + (y^2 + y + 1)/(x^2 + x + 1)` = 0 का व्यापक हल (x + y + 1) = A(1 – x – y – 2xy) है, जिसमें A एक प्राचल है|
बिंदु `(0, π/4)` से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका अवकल समीकरण sin x cos y dx + cos x sin y dy = 0 है।
`dx/dy + P_1 x = Q_1` के रूप वाले अवकल समीकरण का व्यापक हल है:
अवकल समीकरण exdy + (yex + 2x) dx = 0 का व्यापक हल है:
