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प्रश्न
नीचे दी गईआकृतियों (i) और (ii) में केन्द्र O और O’ तथा त्रिज्या r के वृत्त दिखाए गए हैं:
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| (i) | (ii) |
आकृति (i) के छायांकित भाग के क्षेत्रफल तथा आकृति (ii) के छायांकित भाग के क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
(i)
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज BOD का क्षेत्रफल
= `πr^2 xx (120^circ)/(360^circ) - 2 xx 1/2 xx BD xx OM`
= `(πr^2)/3 - 2 xx 1/2 xx 2 xx BM xx OM`
= `(πr^2)/3 - 2 xx r sin 60^circ xx r cos 60^circ`
= `(πr^2)/3 - 2r^2 xx sqrt(3)/2 xx 1/2`
= `(πr^2)/3 - (sqrt(3)r^2)/2`
∴ आकृति (i) का छायांकित क्षेत्रफल = `2 xx r^2 (π/3 - sqrt(3)/2)`
(ii)
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल – त्रिभुज का क्षेत्रफल
= `πr^2 xx (60^circ)/(360^circ) - sqrt(3)/4 r^2` ...[∵ समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल `sqrt(3)/4 xx ("भुजा")^2` होता है]
= `(πr^2)/6 - sqrt(3)/4 r^2`
= `r^2 (π/6 - sqrt(3)/4)`
∴ आकृति (ii) का छायांकित क्षेत्र = `2 xx r^2 (π/6 - sqrt(3)/4)`
आवश्यक अनुपात
= `(2 xx r^2 (π/3 - sqrt(3)/4))/(2 xx r^2 (π/6 - sqrt(3)/4)`
= `(4π - 3sqrt(3))/(2π - 3sqrt(3))`
