Question

मान लीजिए a₁, a₂, ….. a_n, अचर वास्तविक संख्याएँ हैं और एक फलन f(x) = (x – a₁) (x – a₂) ….. (x – a_n) से परिभाषित है। `lim_(x → a_1)` f(x) क्या है?

किसी a ≠ a₁, a₂, ….. a_n के लिए `lim_(x→ a) f(x)`  का परिकलन कीजिए।

Answer 1

गुणनखंड (x − a₁) के लिए,

यदि x → a₁, x − a₁ → 0

∴ `lim_(x - a_1) (x - a_2) = (a_1 - a_2)`

 f(x) = (x – a₁) (x – a₂) ….. (x – a_n)

`lim_(x - a_1) f(x) = lim_(x - a_1)` (x – a₁) (x – a₂) ….. (x – a_n)

= `lim_(x - a_1) (x - a_1) lim_(x - a_1) (x- a_2) (x - a_3) ...... (x - a_n)`

= 0 × (a₁ − a₂) (a₁ − a₃) .......(a − a_n) 0

जब a ≠ a₁, a₂ ........, a_n

जैसे ही x → a, x → a₁ → a − a₁

a − a₁, न तो शून्य है न ही अपरिभाषित है।

इस प्रकार दूसरे गुणनखंड के मान a − a₂, a − a₃ ....., a - a_n होंगे।

अतः `lim_(x - a) f(x) = lim_(x - a)` (x – a₁) (x – a₂) ….. (x – a_n)

= (a – a₁) (a – a₂) ….. (a – a_n)