Question

किन पूर्णांकों m और n के लिए `lim_(x → 0) f(x)` और `lim_(x → 1) f(x)` दोनों का अस्तित्व है, यदि

`f(x) = {(mx^2 + n, x < 0),(nx + m, 0 ≤ x ≤ 1),(nx^3 +m,x > 1):}`

Answer 1

(i) x = 0 पर,

`lim_(x → 0^-) f(x) = lim_(x → 0^-) (mx^2 + n) = n`

`lim_(x → 0^+) f(x) = lim_(x → 0^+) (nx + m) = m`

⇒ m = n

(ii) x = 1 पर

`lim_(x → 1^-) f(x) = lim_(x → 1^-) (nx + m) = n + m = 2m, m ∈ R`

`lim_(x → 1^+) f(x) = lim_(x → 1^+) (nx^3 + m) = n + m = 2m, m ∈ R`

∴ m = n, n ∈ R के लिए

`lim_(x → 0) f(x) = m, m ∈ R`

`lim_(x → 1) f(x) = 2m, m ∈ R`

अतः `lim_(x → 0) f(x)` के अस्तित्व हेतु m = n अनिवार्य रूप से होना चाहिए; m तथा n के किसी भी पूर्णांक मान के लिए `lim_(x → 1) f(x)` का अस्तित्व है।