Question

If `"a"  - (1)/"a" = 7`, find `"a"^2 + (1)/"a"^2 , "a"^2 - (1)/"a"^2` and `"a"^3 - (1)/"a"^3`

Answer 1

`"a"  - (1)/"a" = 7`      ...(1)

Squaring both sides of (1),

`("a" - 1/"a")^2` = (7)²

⇒ `"a"^2 + (1)/"a"^2 - 2` = 49

⇒ `"a"^2 + (1)/"a"^2`
= 49 + 2
= 51
Now, `("a" + 1/"a")^2`

= `"a"^2 + (1)/"a"^2 + 2`
= 51 + 2
= 53

⇒ `"a" + (1)/"a"`

= ±`sqrt(53)`
Now `"a"^2 - (1)/"a"^2`

= `("a" + 1/"a")("a" - 1/"a")`

= `(±sqrt(53)) (7)`
= ±7`sqrt(53)`

Cubing both sides of (1),
`("a" - 1/"a")^3` = (7)³

⇒ `"a"^3 - (1)/"a"^3 - 3("a" - 1/"a")` = 343

⇒ `"a"^3 - (1)/"a"^3 - 3(7)` = 343

⇒ `"a"^3 - (1)/("a"^3`
= 343 + 21
= 364.