Question

Given that sin θ + cos θ = x, prove that sin⁴ θ + cos⁴ θ = `(2-(x^2-1)^2)/2`.

Answer 1

Given, sin θ + cos θ = x

Squaring both sides,

2 sin θ cos θ = x² − 1  ....[∵ sin² θ + cos² θ = 1]

sin θ cos θ = `(x^2-1)/2`

sin² θ + cos² θ + 2 sin θ cos θ = x²

L.H.S. = sin⁴ θ + cos⁴ θ

= (sin² θ + cos² θ) − 2 sin² θ cos² θ

= 1 − 2 (sin² θ cos² θ)

Put value sin θ cos θ

= `1 - ((x^2 - 1)^2 2)/4`

= `(2-(x^2-1)^2)/2`

L.H.S. = R.H.S.

Hence proved.