Question

एक रेखा की ढाल दूसरी रेखा की ढाल का दुगुना है। यदि दोनों के बीच के कोण की स्पर्शज्या (tangent) `1/3` है तो रेखाओं की ढाल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए m₁ और m दो दी गई रेखाओं के ढाल हैं जैसे कि `m_1 = 2m`

हम जानते हैं कि यदि θ ढाल m₁ और m₂ वाली रेखाओं l₁ और l₂ के बीच का कोण है, तो

`tan theta = |(m_2 - m_1)/(1 + m_1m_2)|`

यह दिया गया है कि दो रेखाओं के बीच के कोण का स्पर्शज्या `1/3` है।

`1/3 = |(m - 2m)/(1 + (2m).m)|`

`1/3 = |(- m)/(1 + 2m^2)|`

`1/3 = (- m)/(1 + 2m^2)  "या"  1/3 = -((-m)/(1 + 2m^2)) = m/(1 + 2m^2)`

स्थिति I

= `1/3 = (-m)/(1 + 2m^2)`

= 1 + 2m² = -3m

= 2m² + 3m + 1 = 0

= 2m² + 2m + m + 1 = 0

= 2m(m + 1) +1(m + 1) = 0

= (m + 1) (2m + 1) = 0

= m = -1 या m = `-1/2`

यदि m = -1 है, तो रेखाओं की ढाल -1 और -2 है।

यदि m =`1/2`, तो रेखाओं की ढाल `1/2` और -1 है।

स्थिति II

= `1/3 = m/(1 + 2m^2)`

= 2m² + 1= 3m

= 2m² - 3m + 1 = 0

= 2m² - 2m - m + 1 = 0

= 2m(m - 1) +1(m - 1) = 0

= (m - 1) (2m - 1) = 0

= m = 1 या m = `1/2`

यदि m = 1 है, तो रेखाओं की ढाल 1 और 2 है।

यदि m = `1/2`, तो रेखाओं की ढाल `1/2` और 1 है।

इसलिए, रेखाओं की ढाल -1 और -2 या `-1/2` और -1 या 1 और 2 या `1/2` और 1 है।