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प्रश्न
एक बेलन 30° कोण बनाते आनत तल पर लुढ़कता हुआ ऊपर चढ़ता है। आनत तल की तली में बेलन के द्रव्यमान केन्द्र की चाल 5 m/s है।
- आनत तल पर बेलन कितना ऊपर जाएगा?
- वापस तली तक लौट आने में इसे कितना समय लगेगा?
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उत्तर
(a) ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत से बेलन के ऊपर चढ़ने पर,
गतिज ऊर्जा में कमी = स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि
अर्थात `1/2 "Mν"_"cm"^2 + 1/2 "Iω"^2 = "Mgh"` ...(1)
ठोस बेलन का जड़त्व आघूर्ण `"I" = 1/2 "MR"^2`
तथा बिना फिसले लुढ़कने के लिए
`"ν"_"cm" = "Rω" => "ω"_0 = "ν"_"cm"/"R"`
एवं चित्र से,
h = s sin 30° = s/2
अतः समीकरण (1) में ये मान रखने पर,
`1/2 "Mν"^2"cm" 1/2 (1/2"MR"^2)("ν"_"cm"/"R")^2 = "Mg"("s"/2)`
`3/4 "Mν"_"cm"^2 = 1/2 "Mgs"`
`=> "s" = (3 "ν" "cm"^2)/(2"g")`
`= (3(5)^2)/(2 xx 9.8)` m
= 3.8 m
आनत ताल पर मंदन, `"a" = ("g" "sin" theta)/(1 + ("K"^2/"R"^2))`
परन्तु बेलन के लिए `1/2"MR"^2 = "MK"^2`
`"K"^2/"R"^2 = 1/2 ` तथा θ = 30°
`"a" = ("g" "sin" 30^circ)/(1 + 1/2) = ("g" xx (1//2))/(3//2) = "g"/3`
अतः सूत्र `"s" = "ut" + 1/2 "at"^2` से,
`"a" = 5 xx "t" + 1/2(- "g"/3) . "t"^2`
सरल करने पर, t =`(30/"g")` सेकंड = `(30/9.8)` सेकंड = 3.06 सेकंड ≈ 3 सेकंड
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