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प्रश्न
दीर्घवृत्त `x^2/16 + y^2/9 = 1` से घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया दिर्घषवृतिय का समीकरण `x^2/16 + y^2/9 = 1`
दिया गए दीर्घवृत दोनों अक्ष के बारे में सममित है इसमे समरूप x और y समाहित हैं
`= y^2/9 = 1 - x^2/16`
`= y = pm 3/4 (sqrt(16 - x^2))`
दीर्घवृत द्वारा घिरा क्षेत्रफल = 4 (क्षेत्र का क्षेत्रफल) = 4 (क्षेत्रफल OAC)
पहले चतुभुर्ज में दीर्घवृत `= 4 int_0^4 y dx = int_0^4 3/4 sqrt(16 - x^2) dx`
माना `x = 4 sin theta ; dx = 4 cos theta d theta`
अत: x = 0, `theta = 0 ;` जब x = 4, `theta = pi/2`
अपेक्षित क्षेत्र `= (4 xx 3)/4 int_0^(pi//2) sqrt(16 - 16 sin^2 theta). 4 cos theta d theta`
`= 3 int_0^(pi/2) 4sqrt(1 - sin^2 theta). 4 cos theta d theta`
`= 48 int_0^(pi/2) cos^2 theta d theta`
`= 24 int_0^(pi/2) (1 + cos 2 theta)d theta`
`= 24 [theta + (sin 2 theta)/2]_0^(pi/2)`
`= 12 pi` वर्ग इकाई
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