Question

दी गयी आकृति में, ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जहाँ ∠A = 90° है। AD कर्ण BC पर खींचा गया लम्ब है।

सिद्ध कीजिए कि:

1. ΔDBA ~ ΔDAС
2. DA² = DB × DС
3. यदि DB = 9 cm तथा DC = 16 cm है, तो ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया है:

ΔABC, A पर समकोण है (अर्थात्, ∠A = 90°)

AD, BC पर लंब है

सिद्ध करना है:

ΔDBA ∼ ΔDAC

DA² = DB × DC

ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जब DB = 9 cm और DC = 16 cm हो।

i. ΔDBA ∼ ΔDAC साबित करें:

ΔDBA और ΔDAC में:

∠ADB = ∠ADC = 90°   ...(क्योंकि AD ⊥ BC)

∠DBA = ∠DAC   ...(त्रिभुजों में सामान्य कोण)

AA (कोण-कोण) समानता मानदंड से,

ΔDBA ∼ ΔDAC

ii. साबित करें DA² = DB × DC

क्योंकि ΔDBA ∼ ΔDAC, इसलिए संबंधित भुजाएँ समानुपातिक हैं:

`"DA"/"DB" = "DC"/"DA"`

⇒ DA² = DB × DC

iii. ΔABC का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जब DB = 9 cm और DC = 16 cm हो।

भाग (ii) से,

DA² = DB × DC

= 9 × 16

= 144

⇒ DA = 12 cm

चूँकि ΔABC, A पर समकोण है, इसलिए AD, A से कर्ण BC पर डाली गई ऊँचाई है।

BC की लंबाई = DB + DC

= 9 + 16

= 25 cm

ΔABC का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया जाता है:

क्षेत्र = `1/2 xx BC xx AD`

= `1/2 xx 25 xx 12`

= 150 cm²