Question

चित्र में दर्शाए अनुसार V आयतन के किसी वायु कक्ष की ग्रीवा (गर्दन) की अनुप्रस्थ कोर्ट का क्षेत्रफल α है। इस ग्रीवा में m द्रव्यमान की कोई गोली बिना किसी घर्षण के ऊपर-नीचे गति कर सकती है। यह दर्शाइए कि जब गोली को थोड़ा नीचे दबाकर मुक्त छोड़ देते हैं तो वह सरल आवर्त गति करती है। दाब-आयतन विचरण को समतापी मानकर दोलनों के आवर्तकाल का व्यंजक ज्ञात कीजिए ।

Answer 1

माना साम्यावस्था में जब गैस का आयतन V है तो इसका दाब P है। साम्यावस्था से गेंद को अल्पविस्थापन x देने पर माना गैस का दाब बढ़कर (P + ∆P) तथा आयतन घटकर V – ∆V रह जाता है। समतापीय परिवर्तन के लिए बॉयल के नियम से,
P × V = (P + ∆P)(V – ∆V)
अथवा PV = PV – P.∆V + ∆P.V – ∆P.∆V
चूँकि ∆P व ∆V अल्प राशियाँ हैं, अतः ∆P, ∆V को नगण्य मानते हुए 0 = -P ∆V + ∆P.V

अथवा `triangle"P" = "P"((triangle"V")/"V")`

परन्तु ∆V = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × विस्थापन = α × x

∴ `triangle"P" = ("P" * alpha xx x)/"V"`

अतः गेंद का प्रत्यानयन बल F = - ΔP × d

∴ `"F" = -(("P" xx alpha xx x)/"V") xx alpha`

 `= - (("P" xx x xx alpha^2)/"V")`

`= - (("P"alpha^2)/"V") * x`

अतः गेंद का त्वरण `alpha = ("F"/"m") = - (("P"alpha^2)/"Vm")x`            ...(1)

जहाँ ` (("P"alpha^2)/"Vm")` = नियतांक

∵ α ∝ -x अतः गति सरल आवर्त गति है।

 अतः आवर्तकाल `"T" = 2pisqrt("विस्थापन"/"त्वरण") = 2pisqrt((x/alpha))`

परन्तु समीकरण (1) से, `|x/alpha| = ("mV"/("P"alpha^2))`

`"T" = 2pisqrt(("mV"/("P"alpha^2))` या `"T" = (2pi)/alphasqrt(("mV"/"P"))`