Question

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य। अपने उत्तर का औचित्य दीजिए |

"असमिका `2^sintheta + 2^costheta ≥ 2^(1 - 1/sqrt(2)) theta` के सभी वास्तविक मानों के लिए सत्य है।"

विकल्प

• सत्य

• असत्य

Answer 1

यह कथन सत्य है।

स्पष्टीकरण:

क्योंकि `2^sintheta` और `2^costheta` धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, इसलिए इनका समांतर माध्य (A.M.) इनके गुणोत्तर माध्य (G.M.) से बड़ा या उसके बराबर होगा। अतः,

`(2^sintheta + 2^costheta)/2 ≥ sqrt(2^sintheta  2^costheta)`

= `sqrt(2^(sintheta + costheta))`

`≥ 2 ^((sintheta + costheta)/2) = 2^(1/sqrt(2)(1/sqrt(2) sintheta + 1/sqrt(2) cos theta))`

`≥ 2^(1/sqrt(2) sin(pi/4 + theta))`

क्योंकि `-1 ≤ sin(pi/4 + theta) ≤ 1` होता है, इसलिए हमें प्राप्त है:

इसलिए,  `(2^sintheta + 2^costheta)/2 ≥ 2^((-1)/sqrt(2))`

⇒ `2^sintheta + 2^costheta ≥ 2^(1 - 1/sqrt(2))`