Question

आकृति में P तथा Q केंद्र वाले वृत्त एकदूसरे को R बिंदु पर स्पर्श करते हैं। बिंदु R से जानेवाली रेखा उन वृत्तों को क्रमशः बिंदु A तथा बिंदु B पर प्रतिच्छेदित करती हो तो -

(1) सिद्ध कीजिए रेख AP || रेख BQ

(2) सिद्ध कीजिए ΔAPR ~ ΔRQB

(3) यदि ∠PAR का माप 35° हो, तो ∠RQB का माप ज्ञात कीजिए।

Answer 1

(1) P-R-Q ............(स्पर्श वृत्त प्रमेय से) 

ΔPAR में,

रेख PA ≅ रेख PR ........... (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ ∠PAR ≅ ∠PRA ............(समद्विबाहु त्रिभुज के प्रमेय से) ........(1)

ΔQRB में,

रेख QR ≅ रेख QB ........... (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∴ ∠QRB ≅ ∠QBR .............(समद्विबाहु त्रिभुज के प्रमेय से) ........(2)

∠PRA ≅ ∠QRB .............(शीर्षाभिमुख कोण) ...........(3)

∴ (1), (2) और (3) से,

∠PAR ≅ ∠QBR

∴ ∠PAB ≅ ∠QBA ...............(A-R-B)

∴ रेख AP || रेख BQ ............(एकांतर कोण कसौटी)

(2) ΔAPR और ΔRQB में,

∠PAR ≅ ∠QRB ............[(1) और (3) से]

∠PRA ≅ ∠QBR ............[(2) और (3) से]

∴ ΔAPR ∼ ΔRQB .........(समरूपता की को-को कसौटी)

(3) ∠PAR = 35° ............(दत्त) 

∴ (1), (2) और (3) से,

∠PRA = ∠QRB = ∠QBR = 35° ..............(4)

ΔQRB में,

∠QRB + ∠QBR + ∠RQB = 180° ...........(त्रिभुज के सभी कोणों के मापों का योग)

∴ `35^circ + 35^circ + ∠"RQB" = 180^circ`

∴ `70^circ + ∠"RQB" = 180^circ`

∴ `∠"RQB" = 180^circ - 70^circ`

∴ `∠"RQB" = 110^circ`