Arts (Hindi Medium) इयत्ता १२ - CBSE Question Bank Solutions for Mathematics (गणित)

कारण सहित बतलाइए कि क्या निम्नलिखित फलन प्रतिलोम हैं?

h : {2, 3, 4, 5} → {7, 9, 11, 13} जहाँ
h = {(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)}

सिद्ध कीजिए कि f : [-1, 1] → R, f(x) = `x/((x + 2))` द्वारा प्रदत्त फलन एकैकी है | फलन f : [-1, 1] → (f का परिसर), का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए |

(संकेत y ∈ परिसर f, के लिए, [-1, 1] के किसी x के अंतर्गत y = f(x) = `x/(x + 2),` अर्थात x = `(2y)/((1 - y)`

f(x) = 4x + 3 द्वारा प्रदत्त फलन f : R → R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है। f का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

f(x) = x² + 4 द्वारा प्रदत्त फलन f : R₊ → [4, ∞] पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा F का प्रतिलोम f^-1, f^-1(y) = `sqrt (y - 4)`, द्वारा प्राप्त होता है, जहाँ R₊ सभी ऋणेतर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

f(x) = 9x² + 6x - 5 द्वारा प्रदत्त फलन f : R₊ → [-5, ∞] पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि f व्युत्क्रमणीय है तथा f^-1(y) = `(((sqrt(y + 6)) - 1)/3)` है।

मान लीजिए कि f : X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f का प्रतिलोम फलन अद्वितीय (unique) है।

(संकेत: कल्पना कीजिये कि f के दो प्रतिलोम फलन g₁ तथा g₂ है। तब सभी y ∈ Y के लिए fog₁(y) = 1_Y(y) = fog₂(y) है। अब f के एकैकी गुण का प्रयोग कीजिए)

f : {1, 2, 3} → {a, b, c}, f(1) = a, f(2) = b तथा f(3) = c, द्वारा प्रदत्त फलन f पर विचार कीजिए। f ^-1 ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि (f ^-1)^-1= f है।

मान लीजिए कि f : X → Y एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि f^-1 का प्रतिलोम f है अर्थात् (f ^-1)^-1 = f है।

यदि f : R → R, f(x) = `(3 - x^3)^(1/3)`, द्वारा प्रदत्त है, तो fof(x) बराबर है।

मान लीजिए कि f(x) = `(4x)/(3x + 4)` द्वारा परिभाषित एक फलन f : R - `{-4/3}` → R है। f का प्रतिलोम, अर्थात् प्रतिचित्र (Map) g : परिसर f → R - `{-4/3}`, निम्नलिखित में से किसके द्वारा प्राप्त होगा:

x तथा y के प्रदत्त किन मानों के लिए आव्यूहों के निम्नलिखित युग्म समान हैं?

`[(3x+7, 5),(y+1, 2-3x)] = [(0,y-2),(8,4)]`

यदि A= `[("cos"  alpha, "-sin"  alpha),("sin"  alpha, "cos"  alpha)]` तथा A + A' = I, तो α का मान है।

निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।

`|(2,-4),(0,3)|`

निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।

`|(a,c),(b,d)|`

निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।

`|(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)|`

निम्नलिखित सारणिक के अवयव के उपसारणिक एवं सहखंड लिखिए।

`|(1,0,4),(3,5,-1),(0,1,2)|`

दूसरी पंक्ति के अवयवों के सहखंडो का प्रयोग करके Δ = `|(5,3,8),(2,0,1),(1,2, 3)|` का मान ज्ञात कीजिए।

तीसरे स्तंभ के अवयवों के सहखंडो का प्रयोग करके Δ = `|(1,x,yz),(1,y,zx),(1,z,xy)|` का मान ज्ञात कीजिए।

यदि Δ = `|(a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23),(a_31,a_32,a_33)|` और a_ij का सहखंड A_ij हो तो Δ का मान निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:

सत्यापित कीजिए कि A(adj A) = (adj A)A = |A|I है।

`[(2,3),(-4,-6)]`