Question

|z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂| संभव है, यदि

पर्याय

• `z_2 = barz_1`

• `z_2 = 1/z_1`

• arg(z₁) = arg(z₂)

• |z₁| = |z₂|

Answer 1

arg(z₁) = arg(z₂)

स्पष्टीकरण:

देखिए z₁ = r₁(cosθ₁ + isin θ₁) and z₂ = r₂(cosθ₂ + isin θ₂)

 ⇒ z₁ + z₂ = r₁cosθ₁ + ir₁sinθ₁ + r₂cosθ₂ + ir₂ sinθ₂

|z₁ + z₂| = `sqrt(r_1^2 cos^2 theta_ + r_2^2 cos^2 theta_2 + 2r_1r_2 cos theta_1 cos theta_2 + r_1^2 sin^2 theta_1 + r_2^2 sin^2 theta_2 + 2r_1r_2 sin theta_1 sin theta_2)`

= `sqrt(r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 cos(theta_1 - theta_2))`

पता है कि, |z₁ + z₂| = |z₁| + |z₂|

⇒ `sqrt(r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 cos(theta_1 - theta_2))` = r₁ + r₂

दोनों पक्षों को वर्ग।

⇒ `r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2 cos(theta_1 - theta_2) = r_1^2 + r_2^2 + 2r_1r_2`

⇒ 1 – cos(θ₁ – θ₂) = 0

⇒ cos(θ₁ – θ₂) = 1

⇒ θ₁ – θ₂ = 0

इसलिए, θ₁ = θ₂

इसलिए, arg(z₁) = arg(z₂)

सही विकल्प arg(z₁) = arg(z₂) है