Question

यदि `(2z + 1)/(iz + 1)` का काल्पनिक भाग –2 है, तो दर्शाइए कि z को आर्गंड तल में निरूपित करने वाले बिंदु का बिंदु पथ एक सरल रेखा है।

Answer 1

मान लीजिए कि z = x + iy तब,

`(2z + 1)/(iz + 1) = (2(x + iy) + 1)/(i(x + iy) + 1)`

= `((2x + 1) + i2y)/((1 - y) + ix)`

= `({(2x + 1) + i2y})/({(1 - y) + ix}) xx ({(1 - y) - ix})/({(1 - y) - ix})`

= `((2x + 1 - y) + i(2y - 2y^2 - 2x^2 - x))/(1 + y^2 - 2y + x^2)`

इस प्रकार, `"Im"((2z + 1)/(iz + 1)) = (2y - 2y^2 - 2x^2 - x)/(1 + y^2 - 2y + x^2)`

परंतु, `"Im"((2z + 1)/(iz + 1))` = –2  .....(दिया है)

अतः, `(2y - 2y^2 - 2x^2 - x)/(1 + y^2 - 2y + x^2)` = –2

⇒ 2y – 2y² – 2x² – x = –2 – 2y² + 4y – 2x²

अर्थात्, x + 2y – 2 = 0, जो एक सरल रेखा का समीकरण है।