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प्रश्न
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तेजस एक इमारत के शीर्ष पर खड़ा है और कार को 30° के अवनमन कोण पर देखता है, जो इमारत के पाद की ओर एकसमान चाल से आ रही है। 6 सेकंड बाद, अवनमन कोण बढ़कर 60° हो जाता है और उस समय कार इमारत से 25 m दूर है।
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उपर्युक्त दी गई जानकारी के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:
(i) इमारत की ऊँचाई क्या है? (1)
(ii) कार की दो स्थितियों के बीच की दूरी क्या है? (1)
(iii) (क) कार को प्रारंभिक बिंदु से इमारतके पाद तक पहुँचने में कुल कितना समय लगेगा? (2)
अथवा
(iii) (ख) जब अवनमन कोण 60° होता है, तो प्रेक्षक से कार की दूरी क्या है? (2)
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उत्तर
मान लीजिए कि इमारत AB की ऊँचाई = h m है।
कार सबसे पहले बिंदु D पर है, जहाँ उसे 30° के अवनमन कोण पर देखा जाता है।
6 सेकंड के बाद, कार बिंदु C पर पहुँच जाती है, जहाँ से उसे 60° के अवनमन कोण पर देखा जाता है।
दूरी CB = 25 m है।
चूँकि AB ऊर्ध्वाधर है और BC क्षैतिज है, इसलिए त्रिभुज ABC, B पर समकोण है।
(i) इमारत की ऊँचाई:
ΔABC में,
`tan 60° = P/B = (AB)/(BC)`
`tan 60° = h/25`
`sqrt(3) = h/25`
`h = 25sqrt(3) m`
∴ इमारत की ऊँचाई `25sqrt(3) m` है।
(ii) कार की दो स्थितियों के बीच की दूरी (अर्थात् DC)
ΔABD में,
`tan 30° = P/B = (AB)/(BD)`
`1/sqrt(3) = (25sqrt(3))/(BD)`
`BD = 25sqrt(3) xx sqrt(3)`
BD = 25 × 3
BD = 75
∴ DC = BD – BC
DC = 75 – 25
DC = 50 m
(iii) (क) कार द्वारा प्रारंभिक बिंदु से इमारत के आधार तक पहुँचने में लिया गया कुल समय:
कार 6 सेकंड में Dc दूरी तय करती है।
दूरी (DC) = 50 m, समय (T1) = 6 sec
गति = `"दूरी"/"समय"`
गति = `50/6`
गति = `25/3`
गति = 8.33 m/s
अब, दूरी (BC) = 25 m,
चाल = 8.33 m/s ...[दी गई एकसमान चाल]
समय (T2) = (?)
गति = `"दूरी"/"समय"`
`8.33 = 25/"समय"`
समय = `25/8.33`
= 3.00 सेकंड
समय (T2) = 3 सेकंड
∴ कुल समय = T1 (D से C तक) + T2 (C से B तक)
= 6 सेकंड + 3 सेकंड
= 9 सेकंड
अथवा
(iii) (ख) जब कार 60° का कोण बनाती है, तब प्रेक्षक की कार से दूरी:
दूरी AC, प्रेक्षक A से C पर स्थित कार तक की दृष्टि-रेखा है।
ΔABC में,
`sin 60° = P/H = (AB)/(AC)`
`sin 60° = (25sqrt(3))/(AC)`
`sqrt(3)/2 = (25sqrt(3))/(AC)`
`AC = (25sqrt(3) xx 2)/sqrt(3)`
AC = 25 × 2
AC = 50 m
∴ प्रेक्षक से कार की दूरी 50 m है।
