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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P ≠ (0, 0) से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है।
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उत्तर
R = {(P, Q) : बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है}
मान लीजिए P(x1, y1), Q(x2, y2) और O(0, 0)
∴ OP = OQ
= `sqrt(x_1^2+ y_1^2) = sqrt(x_2^2 + y_2^2)`
= `x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2`
(i) स्वतुल्य:
P ∈ A
मूल बिंदु से बिंदु P की दूरी मूल बिंदु से बिंदु P की दूरी के समान है।
OP = OP
⇒ (P, P) ∈ R
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
P, Q ∈ A, यदि (P, Q) ∈ R
⇒ मूल बिंदु से बिंदु P की दूरी मूल बिंदु से बिंदु Q की दूरी के समान है।
OP = OQ
⇒ OQ = OP
⇒ (Q, P) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
P, Q, S ∈ R, (P, Q) ∈ R और (Q, S) ∈ R
⇒ OP = OQ और OQ = OS
⇒ OP = OS
⇒ (P, S) ∈ R
∴ R संक्रामक है।
अतः R एक तुल्यता संबंध है।
हमें P ≠ (0, 0) से संबंधित बिंदुओं का समुच्चय ज्ञात करना है।
चूँकि `x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 = r^2`
= x2 + y2 = r2 जो केंद्र (0, 0) और त्रिज्या = r वाले एक वृत्त का निरूपित करता है।
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