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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a − b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक-दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
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उत्तर
A = {1, 2, 3, 4, 5}
R = {(a, b) : |a − b| सम है}
(i) स्वतुल्य:
यह स्पष्ट है कि किसी भी तत्व a ∈ A के लिए, हमारे पास |a − a| = 0 है, जो सम है।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
मान लीजिए (a, b) ∈ R
⇒ |a − b| सम है।
⇒ |−(a − b)| = |b − a| भी सम है।
⇒ (b, a) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
अब, मान लीजिए (a, b) ∈ R और (b, c) ∈ R
⇒ |a − b| सम है तथा |b − c| सम है।
⇒ (a − b) सम है तथा (b − c) सम है।
⇒ (a − c) = (a − b) + (b − c) सम है। ....[दो सम पूर्णांकों का योग सम होता है।]
⇒ |a − c | सम है।
∴ R संक्रामक है।
अतः, R एक तुल्यता संबंध है।
अब, समुच्चय {1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी तत्व विषम हैं। इस प्रकार, किन्हीं दो अवयव के बीच अंतर का मापांक सम होगा।
इसी प्रकार, समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं, क्योंकि इस उपसमुच्चय के सभी अवयव सम हैं।
साथ ही, उपसमुच्चय {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी भी अवयव से संबंधित नहीं हो सकता है, क्योंकि {1, 3, 5} के सभी अवयव विषम हैं और {2, 4} के सभी अवयव सम हैं। इस प्रकार, दो अवयवो (इन दो उपसमुच्चयों में से प्रत्येक से) के बीच अंतर का मापांक सम नहीं होगा।
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