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प्रश्न
सिद्ध कीजिए:
`cos^-1 4/5 + cos^-1 12/13 = cos^-1 33/65`
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उत्तर
मान लीजिए `cos^(-1) 4/5` = x
फिर, cos x = `4/5`
⇒ sin x = `sqrt (1 - (4/5)^2)`
⇒ sin x = `sqrt(1 - 16/25)`
⇒ sin x = `sqrt(9/25)`
⇒ sin x = `3/5`
∴ tan x = `3/4` ⇒ x = `tan^(-1) 3/4`
∴ `cos^(-1) 4/5 = tan^(-1) 3/4` ...(1)
अब मान लीजिए `cos^(-1) 12/13` = y
फिर cos y = `12/13`
⇒ sin y = `5/13`
∴ tan y = `5/12` ⇒ y = `tan^(-1) 5/12`
∴ `cos^(-1) 12/13 = tan^(-1) 5/12` ....(2)
मान लीजिए `cos^(-1) 33/65` = z
तब cos z = `33/65`
⇒ sin z = `56/65`
∴ tan z = `56/33` ⇒ z = `tan^(-1) 56/33`
∴ `cos^(-1) 33/65 = tan^(-1) 56/33` ....(3)
अब, हम सिद्ध करेंगे कि:
बायाँ पक्ष = `cos^(-1) 4/5 + cos^(-1) 12/13`
= `tan^(-1) 3/4 + tan^(-1) 5/12` ....[(1) और (2) का उपयोग करते हुए]
= `tan^(-1) (3/4 + 5/12)/(1 - 3/4 * 5/12) ....[tan^(-1) x + tan^(-1) y = tan^(-1) (x + y)/(1 - xy)]`
= `tan^(-1) (36+20)/(48-15)`
= `tan^(-1) 56/33`
= `cos^(-1) 33/65` .....[द्वारा (3)]
= दायाँ पक्ष
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