Question

P(6, 0), Q(2, 8) तथा R(−2, 4) त्रिभुज PQR के शीर्ष बिंदु हैं। दिया गया है MN || QR है तथा `"PM"/"MQ" = 1/3` है। विभाजन सूत्र तथा दूरी सूत्र का प्रयोग करते हुये दर्शाइये कि `"MN"/"QR" = 1/4`।

Answer 1

दिए गए बिंदु:

P(6, 0), Q(2, 8), R(−2, 4)

चूँकि MN || QR और `"PM"/"MQ"` = `1/3` है, इसलिए बिंदु M, PQ पर इस प्रकार स्थित है कि PM : MQ = 1 : 3 है।

चरण 1: विभाजन सूत्र का उपयोग करके M के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

चूँकि PM : MQ = 1 : 3 है, इसलिए बिंदु M, PQ को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करता है।

M के निर्देशांक हैं:

`M = ((1 xx 2 + 3 xx 6)/(1 + 3), (1 xx 8 + 3 xx 0)/(1 + 3))`

= `((2 + 18)/4, (8 + 0)/4)`

= (5, 2)

चरण 2: N के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, इस प्रकार कि MN || QR हो और N, PR पर स्थित हो।

चूँकि MN || QR है, इसलिए N, PR को उसी अनुपात में विभाजित करता है जिस अनुपात में M, PQ को विभाजित करता है, अर्थात् 1 : 3।

N के निर्देशांक, जो PR को 1 : 3 के अनुपात में विभाजित करते हैं:

`N = ((1 xx (-2) + 3 xx 6)/(1 + 3), (1 xx 4 + 3 xx 0)/(1 + 3))`

= `((-2 + 18)/4, (4 + 0)/4)`

= (4, 1)

चरण 3: दूरी सूत्र का उपयोग करके MN और QR की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच दूरी का सूत्र है:

`sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)`

⇒ लंबाई MN:

`MN = sqrt((4 - 5)^2 + (1 - 2)^2)`

 = `sqrt((-1)^2 + (-1)^2)`

= `sqrt(1 + 1)`

= `sqrt2`

⇒ लंबाई QR:

`QR = sqrt((-2 - 2)^2 + (4 - 8)^2)`

= `sqrt((-4)^2 + (-4)^2)`

= `sqrt(16 + 16)`

= `sqrt(32)`

= `4sqrt2`

चरण 4: अनुपात ज्ञात करें `"MN"/"QR"`

`"MN"/"QR" = sqrt2/(4sqrt2) = 1/4`

अतः सिद्ध हुआ `"MN"/"QR" = 1/4`