Question

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

`sin(x + a)/cosx`

Answer 1

मान लीजिए f(x) = `(sin (x + a))/(cos x)`

भागफल नियम से,

f'(x) = `(cos x d/dx [sin (x + a)] - sin(x + a) d/dx cos x)/cos^2 x`

f'(x) = `(cos x d/dx [sin (x + a)] - sin(x + a) (-sin x))/cos^2 x`        ...(i)

माना g(x) = sin (x + a) इसलिए g(x + h) = sin (x + h + a)

प्रथम सिद्धांत के अनुसार,

g'(x) = `lim_(h->0) (g(x + h) - g(x))/h`

= `lim_(h->0)1/h [sin (x + h + a) -sin (x + a)]`

= `lim_(h->0)1/h [2 cos ((x + h + a + x + a)/2) sin  ((x + h + a - x - a)/2)]`

= `lim_(h->0)1/h [2 cos ((2x + 2a + h)/2) sin(h/2)]`

= `lim_(h->0) [cos ((2x + 2a + h)/2) {sin (h/2)/(h/2)}]`

= `lim_(h->0) cos ((2x + 2a + h)/2) lim_(h->0){sin (h/2)/(h/2)}`     `["जैसे"  h->0=>h/2->0]`

= `(cos  (2x + 2a)/2) xx 1`          `[lim_(h->0) (sin h)/h = 1]`

= cos (x + a)

(i) और (ii) से हमें प्राप्त होता है

f'(x) = `(cosx. cos (x + a) + sin x sin (x + a))/cos^2x`

= `(cos (x + a - x))/cos^2 x`

= `(cos a)/cos^2 x`