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प्रश्न
निचे दी गई आकृति के आधार पर ΔPQR में यदि PQ > PR तथा ∠Q तथा ∠R के समद्विभाजक बिंदु S पर प्रतिच्छेदित करते हैं तो सिद्ध कीजिए कि SQ > SR
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उत्तर
दत्त : ∆ PQR में, PQ > PR और ∠Q और ∠R के समद्विभाजक S पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
साध्य : SQ > SR
उपपत्ति :
∠SQR = `1/2` ∠PQR ….(i) ...[किरण QS ∠PQR को समद्विभाजित करती है]
∠SRQ = `1/2` ∠PRQ ...(ii) ...[किरण RS ∠PRQ को समद्विभाजित करती है]
∆ PQR में,
PQ > PR ...(दिया है।)
∴ ∠R > ∠Q ....[बड़ी भुजा के विपरीत कोण बड़ा होता है।]
∴ `1/2 ("∠R") > 1/2 ("∠Q") ...["दोनों पक्षों को" 1/2"से गुणा करने पर"] `
∴ ∠SRQ > ∠SQR ...(iii) ...[(i) तथा (ii) से]
∆SQR में,
∠SRQ > ∠SQR ...[(iii) से]
∴ SQ > SR ... [बड़े कोण के विपरीत भुजा बड़ी होती है]
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∴ `square/square = square/square` ........(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................ (बिंदु M यह QR का मध्य बिंदु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/"XQ" = "PY"/"YR"`
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दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
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