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प्रश्न
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = a + ab
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
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उत्तर
Q पर, ऑपरेशन * के रूप में परिभाषित किया गया है a * b = a + ab.
यह देखा जा सकता है कि:
1 . 2 = 1 + 1 × 2 = 1 + 2 = 3
2 . 1 = 2 + 2 × 1 = 2 + 2 = 4
⇒ 1 * 2 के बराबर नहीं है 2 * 1
इस प्रकार, ऑपरेशन * सराहनीय नहीं है।
यह भी देखा जा सकता है कि:
(1 . 2) . 3 = (1 + 1 × 2) . 3 = 3 . 3 = 3 + 3 × 3 = 3 + 9 = 12
1 . (2 . 3) = 1 . (2 + 2 × 3) = 1 + 1 × 8 = 9
इस प्रकार, ऑपरेशन * सहयोगी नहीं है।
संबंधित प्रश्न
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
Z+ में, a * b = a - b द्वारा परिभाषित संक्रिया *
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
Z+ में, a * b = ab द्वारा परिभाषित संक्रिया *
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया * से एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
Z+ में, संक्रिया *, a * b = |a - b| द्वारा परिभाषित
निर्धारित कीजिए कि क्या निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित संक्रिया से * एक द्विआधारी संक्रिया प्राप्त होती है या नहीं। उस दशा में जब * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है, औचित्य भी बतलाइए।
Z+ में, संक्रिया *, a * b = a द्वारा परिभाषित
निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।
Z+ में, a * b = 2ab द्वारा परिभाषित
निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।
Z+ में, a* b = ab द्वारा परिभाषित
निम्नलिखित परिभाषित द्विआधारी संक्रिया * के लिए निर्धारित कीजिए कि क्या * द्विआधारी क्रमविनिमेय है तथा क्या * साहचर्य है।
R - {- 1} में, a * b = `a/(b + 1)` द्वारा परिभाषित
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
5 * 7, 20 * 16
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
क्या संक्रिय * क्रमविनिमेय है?
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
क्या * साहचर्य है?
मान लीजिए कि N में एक द्विआधारी संक्रिया *, a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित है। निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:
N के कौन से अवयव * संक्रिया के लिए व्युत्क्रमणीय है?
क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5} में a * b = a तथा b का LCM द्वारा परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
मान लीजिए कि N में a * b = a तथा b का HCF द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। क्या * क्रमविनिमेय है? क्या * साहचर्य है? क्या N में इस द्विआधारी संक्रिया के तत्समक का अस्तित्व है?
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = a - b
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = a2 + b2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = (a - b)2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
मान लीजिए कि परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q में निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित * एक द्विआधारी संक्रिया है:
a * b = ab2
ज्ञात कीजिए कि इनमें से कौन सी संक्रियाएँ क्रमविनिमेय हैं और कौनसी साहचर्य हैं।
प्रश्न 9 में दी गई संक्रियाओं में किसी का तत्समक है, वह बतलाइए।
मान लीजिए कि A = N × N है तथा A में (a, b) * (c, d) = (a + c, b + d) द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय तथा साहचर्य है। A में * का तत्समक अवयव, यदि कोई है, तो ज्ञात कीजिए।
बतलाइए कि क्या निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य हैं। औचित्य भी बतलाइए।
समुच्चय N में किसी भी स्वेच्छ द्विआधारी संक्रिया* के लिए a * a = a, ∀ a ∈ N
यदि N में * एक क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रिया है तो a * (b * c)=(c * b) * a
a * b = a3 + b3 प्रकार से परिभाषित N में एक द्विआधारी संक्रिया * पर विचार कीजिए। अब निम्नलिखित में से सही उत्तर का चयन कीजिए।
समुच्चय {a, b} में द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या है |
