Question

मान लीजिए A (4, 2), B (6, 5) और C (1, 4) एक त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं।
(i) A से होकर जाने वाली माध्यिका BC से D पर मिलती है। बिंदु D के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(ii) AD पर स्थित ऐसे बिंदु P के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि AP : PD = 2 : 1 हो।
(iii) माध्यिकाओं BE और CF पर ऐसे बिंदुओं Q और R के निर्देशांक ज्ञात कीजिए कि BQ : QE = 2 : 1 हो और CR : RF = 2 : 1 हो।
(iv) आप क्या देखते हैं?
(v) यदि A (x₁, y₁), B (x₂, y₂) और C (x₃, y₃) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं, तो इस त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

Answer 1

(i) चूँकि D, BC का मध्य-बिन्दु है। इसलिए D के निर्देशांक

`x_D = (6 + 1)/2 = 7/2`

`y_D = (5 + 4)/2 = 9/2`

अतः बिन्दु D के अभीष्ट निर्देशांक `D(7/2, 9/2)` हैं।

(ii) चूँकि P, AD रेखाखण्ड (माध्यिका) को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है।

⇒ `x_P = (2(7/2) + 1(4))/(2 + 1) = (7 + 4)/3 = 11/3`

एवं `y_P = (2 xx 9/2 + 1 xx 2)/(2 + 1) = (9 + 2)/3 = 11/3`

अत: P के अभीष्ट निर्देशांक P`(11/3, 11/3)` है।

(iii) बिन्दु E, AC रेखाखण्ड का मध्य-बिन्दु है। इसलिए E के निर्देशांक

⇒ `x_E = (4 + 1)/2 = 5/2`

एवं `y_E = (4 + 2)/2 = 3`

अर्थात् E`(5/2, 3)` है।

तथा बिन्दु F, रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है। इसलिए बिन्दु F के निर्देशांक

`x_F = (4 + 6)/2 = 10/2 = 5`

एवं `y_F = (2 + 5)/2 = 7/2`

अर्थात् F `(5, 7/2)` है।

चूँकि बिन्दु Q रेखाखण्ड (माध्यिका) BE को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए Q के निर्देशांक

⇒ `x_Q = (2(5/2) + 1(6))/(2 + 1) = (5 + 6)/3 = 11/3`

एवं `y_Q = (2(3) + 1(5))/(2 + 1) = (6 + 5)/3 = 11/3`

⇒ Q के निर्देशांक Q`(11/3, 11/3)`

और बिन्दु R रेखाखण्ड (माध्यिका) CF को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता है। इसलिए R के निर्देशांक

⇒ `x_R = (2(5) + 1(1))/(2 + 1) = (10 + 1)/3 = 11/3`

एवं `y_R = (2(7/2) + 1(4))/(2 + 1) = (7 + 4)/3 = 11/3`

⇒ R के निर्देशांक R`(11/3, 11/3)`

अत: बिन्दु Q एवं R के अभीष्ट निर्देशांक क्रमशः Q`(11/3, 11/3)` एवं R`(11/3, 11/3)` हैं।

(iv) त्रिभुज की तीनों माध्यिकाओं को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करने वाले सभी बिन्दु P, Q एवं R समानुपाती हैं अर्थात् एक ही हैं जिसे त्रिभुज का केन्द्रक कहते हैं तथा इसे प्रायः G से प्रदर्शित करते हैं।

(v) त्रिभुज का केन्द्रक उसकी माध्यिकाओं का संगामी बिन्दु होता है जो प्रत्येक माध्यिका को 2 : 1 के अनुपात में विभाजित करता हैं।

चूँकि बिन्दु D (x, y) मान लीजिए है जो बिन्दुओं B (x₂, y₂) और C (x₃, y₃) को मिलाने वाले रेखाखण्ड का मध्य बिन्दु है।

⇒ `x = ((x_2 + x_3))/2`

एवं  `y = (y_2 + y_3)/2`

मान लीजिए केंद्रक G के निर्देशांक `G(overlinex, overliney)` हैं।

तो `overlinex = (2 xx ((x_2 + x_3)/2) + 1 xx x_1)/(2 + 1) = (x_1 + x_2 + x_3)/3`

एवं `overliney = (2 xx ((y_2 + y_3)/2) + 1 xx y_1)/(2 + 1) = (y_1 + y_2 + y_3)/3`

अत: केन्द्रक G के अभीष्ट निर्देशांक G `((x_1 + x_2 + x_3)/3, (y_1 + y_2 + y_3)/3)` हैं।