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प्रश्न
किसी रॉकेट को मंगल के पृष्ठ से 2 kms-1 की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर दागा जाता है। यदि मंगल के वातावरणीय प्रतिरोध के कारण इसकी 20% आरम्भिक ऊर्जा नष्ट हो जाती है, तब मंगल के पृष्ठ पर वापस लौटने से पूर्व यह रॉकेट मंगल से कितनी दूरी तक जाएगा? मंगल का द्रव्यमान = 6.4 × 1023 kg; मंगल की त्रिज्या = 3395 km तथा G = 6.67 × 10-11 N m2 kg-2.
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उत्तर
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा = mv2
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा = `- ("GM""m")/"R"`
कुल प्रारंभिक ऊर्जा = `1/2 "mν"^2 - ("GM""m")/"R"`
क्योंकि गतिज ऊर्जा का 20% लुप्त हो जाता है, इसलिए केवल गतिज ऊर्जा का 80% ही बच पाता है ऊंचाई पाने के लिए।
∴ कुल प्रारंभिक ऊर्जा = `4/5 xx 1/2 "mν"^2 - ("GM""m")/"R"`
= `0.4 "mν"^2 - "GMm"/"R"`
जब रॉकेट सबसे ऊंचाई पर पहुँच जाता है तब गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है और स्थितिज ऊर्जा = `- "GMm"/("R" + "h")` होती है।
`0.4 "mν"^2 - "GMm"/"R" = - "GMm"/("R" + "h")`
`"GMm"/("R" + "h") = "GMm"/"R" - 0.4 "mν"^2 = "GM"/("R" + "h") = -0.4 "ν"^2 `
`"GMm"/("R" + "h") = 1/"R"["GM" - 0.4 "Rν"^2] = ("R" + "h")/"R"= "GM"/("GM" - 0.4 "R""ν"^2)`
`"h"/"R"= "GM"/("GM" - 0.4 "R""ν"^2) = -1`
`"h"/"R" = "GM"/("GM" - 0.4 "R" "ν"^2) = "h" = (0.4 "R"^2"ν"^2)/("GM" - 0.4 "R" "ν"^2)`
`"h" = [(0.4 xx (2 xx 10^3)^2 xx (3.395 xx 10^6)^2)/((6.67 xx 10^-11 xx 6.4 xx 10^23 - 0.4 xx (2 xx 10^3)^2) xx 3.395 xx 10^6)] xx "m"`
= 495 km
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