Question

किसी कमानी से लटका एक पिण्ड एक क्षैतिज तल में कोणीय वेग ω से घर्षण या अवमंदन रहित दोलन कर सकता है। इसे जब x₀ दूरी तक खींचते हैं और खींचकर छोड़ देते हैं तो यह संतुलन केंद्र से समय t = 0 पर v₀ वेग से गुजरता है। प्राचल ω,x₀, तथा v₀ के पदों में परिणामी दोलन का आयाम ज्ञात कीजिए। [संकेतः समीकरण x = acos (ωt + θ) से प्रारंभ कीजिए। ध्यान रहे कि प्रारंभिक वेग ऋणात्मक है।]

Answer 1

माना सरल आवर्त गति का समीकरण,

x = A cos (ωt + φ)           ...(1)

तब वेग `upsilon = ("d"x)/("dt") => upsilon = - ω  "A"   "sin" (ω"t" + φ)    ...(2)`

∵ समय t = 0 पर x = x₀, अतः समीकऱण (1) से,

x₀ = "A" "cos" φ                 ...(3)

तथा t = 0 पर υ = υ₀,  अतः समीकऱण (2) से,

`- upsilon_0/ω = "A"  "sin" φ`            ...(4)

समीकरण (3) व (4) के वर्गों का योग करने पर,

`x_0^2 + upsilon_0^2/ω^2`

= A² (cos² φ + sin² φ) 

= A²

अतः  आयाम `"A"= sqrt(x_0^2 + (upsilon_0^2)/(ω^2))`