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प्रश्न
केंद्रों O और O' वाले दो वृत्त बिंदुओं A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं। A (या B) से होकर एक रेखा PQ रेखाखंड OO' के समांतर खींची जाती है, जो वृत्तों को P और Q पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि PQ = 2 OO' है।
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उत्तर
सबसे पहले O और O' को केंद्र लेकर दो वृत्त इस प्रकार बनाएं कि वे A और B पर प्रतिच्छेद करें।
OO' के समानांतर एक रेखा PQ खींचिए।
केंद्र O वाले वृत्त में, हमारे पास है -
OP और OB वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
PB जीवा है, जिसका लम्ब समद्विभाजक OM है।
यानी BM = MP ...(1)
केंद्र O' वाले वृत्त में, हमारे पास -
O'B और O'Q वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
BQ जीवा है और O'N इसका लम्ब समद्विभाजक है।
यानी BN = BQ ...(2)
(1) और (2) से, हमारे पास -
BM + BN = MP + NQ
⇒ (BM + BN) + (BM + BN) = (BM + BN) + (MP + NQ)
⇒ 2(BM + BN) = (BM + BN) + (MP + NQ)
⇒ 2(OO') = (BM + MP) + (BN + NQ)
⇒ 2(OO') = BP + BQ
⇒ 2(OO') = PQ
अत: सिद्ध हुआ।
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