Question

ज्ञात कीजिए :

1 से 500 तक के उन पूर्णांकों का योग जो 2 या 5 के गुणज हैं।

[संकेत (iii) : ये संख्याएँ होंगी : 2 के गुणज + 5 के गुणज – 2 और 5 दोनों के गुणज]

Answer 1

चूँकि, 2 या 5 के गुणज = 2 के गुणज + 5 के गुणज – [एलसीएम (2, 5) के गुणज अर्थात्, 10],

∴ 1 से 500 तक 2 या 5 का गुणज

= 1 से 500 तक 2 के गुणकों की सूची + 1 से 500 तक 5 के गुणकों की सूची – 1 से 500 तक 10 के गुणकों की सूची

= (2, 4, 6,..., 500) + (5, 10, 15,..., 500) – (10, 20,..., 500)  ...(i)

ये सभी सूची एक AP बनाती हैं।

अब, पहली सूची में शब्दों की संख्या,

500 = 2 + (n₁ – 1)2

⇒ 498 = (n₁ – 1)2  ...[∵ a₁ = a + (n – 1)d]

⇒ n₁ – 1 = 249

⇒ n₁ = 250

दूसरी सूची में शब्दों की संख्या,

500 = 5 + (n₂ – 1)5

⇒ 495 = (n₂ – 1)5  ...[∵ l = 500]

⇒ 99 = (n₂ – 1)

⇒ n₂ = 100

और तीसरी सूची में पदों की संख्या,

500 = 10 + (n₃ – 1)10

⇒ 490 = (n₃ – 1)10

⇒ n₃ – 1 = 49

⇒ n₃ = 50

समीकरण (i) से 1 से,

1 से 500 तक 2 या 5 के गुणजों का योग

= (2, 4, 6,..., 500) का योग + (5, 10,..., 500) का योग – (10, 20,..., 500) का योग

= `n_1/2[2 + 500] + n_2/2[5 + 500] - n_3/2[10 + 500]`   ...`[∵ S_n = n/2(a + l)]`

= `(250/2 xx 502) + (100/2 xx 505) - (50/2 xx 510)`

= (250 × 251) + (505 × 50) – (25 × 510)

= 62750 + 25250 – 12750

= 88000 – 12750

= 75250