Question

जाँच कीजिए कि रेखाएँ `(x - 1)/2 = (y - 2)/3 = (z - 3)/4  "तथा"  (x - 4)/5 = (y - 1)/2 = z` परस्पर समांतर हैं या नहीं। यदि समांतर हैं, तो उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए, अन्यथा यदि रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दि हुई रेखाएँ:

`(x - 1)/2 = (y - 2)/3 = (z - 3)/4  "तथा" (x - 4)/5 = (y - 1)/2 = z`

पहली रेखा के लिए दिशा अनुपात (2, 3, 4) हैं।

दूसरी रेखा को इस प्रकार लिख सकते हैं:

`(x - 4)/5 = (y - 1)/2 = (z - 0)/1`, अतः इसके दिशा अनुपात (5, 2, 1) हैं।

चूँकि `2/5 ≠ 3/2 ≠ 4/1`, इसलिए रेखाएँ समानांतर नहीं हैं।

अब पहली रेखा को परामित रूप में लिखते हैं:

x = 1 + 2λ, y = 2 + 3λ, z = 3 + 4λ

दूसरी रेखा:

x = 4 + 5μ, y = 1 + 2μ, z = μ

अब दोनों को बराबर करते हैं:

1 + 2λ = 4 + 5μ      ....(1)

2 + 3λ = 1 + 2μ      ....(2)

3 + 4λ = μ      ....(3)

समीकरण (3) से:

 μ = 3 + 4λ      ....(4)

समीकरण (4) को (2) में रखने पर:

2 + 3λ = 1 + 2(3 + 4λ)

2 + 3λ = 7 + 8λ

−5 = 5λ

∴ λ = −1

अब λ = −1 को (4) में रखने पर:

μ = 3 + 4(−1)

μ = 3 + (−4)

∴ μ = −1

अब λ = −1 and μ = −1 को (1) में रखने पर:

1 + 2(−1) = 4 + 5(−1)

−1 = −1

अतः रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।

प्रतिच्छेद बिंदु:

• x = 1 + 2(−1) = −1
• y = 2 + 3(−1) = −1
• z = 3 + 4(−1) = −1

अतः, दोनों रेखाएँ समानांतर नहीं हैं, वे एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करती हैं और उनका प्रतिच्छेद बिंदु (−1, −1, −1) है।