Question

दिए गए चित्र में TP तथा TQ केन्द्र M वाले वृत्त पर खींची गयी स्पर्श-रेखायें हैं जो N केन्द्र वाले एक अन्य वृत्त को क्रमश: A तथा B बिन्दु पर स्पर्श करती हैं। दिया गया है कि MQ = 13 cm, NB = 8 cm, BQ = 35 cm तथा TP = 80 cm है।

1. चतुर्भुज MQBN का नाम बताइये। [1]
2. क्या MN, PA के समांतर है? तर्क सहित उत्तर दीजिये। [1]
3. TB की लम्बाई ज्ञात कीजिये। [1]
4. MN की लम्बाई ज्ञात कीजिये। [2]

Answer 1

i. चतुर्भुज MQBN में, MQ ⊥ TQ और NB ⊥ TQ (त्रिज्या ⊥ स्पर्श रेखा)।

चूँकि दोनों एक ही रेखा TQ पर लंब हैं, इसलिए MQ || NB है।

एक चतुर्भुज जिसकी सम्मुख भुजाओं का एक जोड़ा समांतर हो, समलंब कहलाता है।

ii. नहीं, MN, PA के समानांतर नहीं है। PA स्पर्श रेखाओं पर स्थित एक जीवा/रेखाखंड है, जबकि MN केंद्रों को मिलाने वाली रेखा है। यहाँ समानांतर होने की कोई भी ज्यामितीय शर्त पूरी नहीं होती है।

iii. चूँकि TP और TQ T से केंद्र M वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं, इसलिए TP = TQ = 80 cm.

अब, TQ = TB + BQ.

80 = TB + 35

⇒ TB = 45 cm

iv. हम जानते हैं कि MQ || NB है। समलंब चतुर्भुज MQBN में, केंद्रों MN के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए:

N से MQ पर एक लंब रेखा खींचिए, मान लीजिए कि बिंदु X पर है।

QX = NB = 8 cm.

MX = MQ – QX

= 13 – 8

= 5 cm

समकोण △MXN में, NX = BQ = 35 cm है।

MN² = MX² + NX²

= 5² + 35²

= 25 + 1225

= 1250

MN = `sqrt(1250)`

= `25sqrt(2)`

= 35.36 cm