Question

दी गई आकृति में, 4 cm की त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत त्रिभुज ABC बना है। यदि AD = 7 cm, BD = 8 cm, तथा क्षेत्रफल (Δ ABC) = 84 cm² है, तो BC और AC की लम्बाइयाँ ज्ञात कीजिए।

Answer 1

दिया गया:

त्रिभुज ABC, r = 4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त को परिगत करता है।

वृत्त, रेखा AB को बिंदु D पर स्पर्श करता है, जहाँ AD = 7 cm और BD = 8 cm है; इसलिए AB = 7 + 8 = 15 cm है।

Area (ΔABC) = 84 cm²

1. मान लीजिए कि भुजाओं की लंबाइयाँ a = BC, b = CA और c = AB हैं।

अर्ध-परिमाप s = `(a + b + c)/2`

2. r अंतर्वृत्त त्रिज्या वाले त्रिभुज के लिए, क्षेत्रफल = r × s.

इसलिए, `s = "Area"/r` 

= `84/4`

= 21

3. c = AB = 15

इसलिए a + b + 15 = 2s = 42

⇒ a + b = 27

4. स्पर्श-रेखा की लंबाई का गुणधर्म: किसी शीर्ष से अंतर्वृत्त पर खींची गई स्पर्श-रेखाएँ बराबर होती हैं।

अतः, AD = s – a = 7

BD = s – b = 8

घटाने पर (s – b) – (s – a) प्राप्त होता है।

= a – b 

= 8 – 7

= 1

तो, a = b + 1

5. इस समीकरण निकाय को हल करें: a + b = 27

(b + 1) + b = 27

⇒ 2b + 1 = 27

⇒ 2b = 26

⇒ b = 13

तो a = b + 1

a = 13 + 1

a = 14

BC = a = 14 cm.

AC = b = 13 cm.