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प्रश्न
अभिकथन (A): `(sqrt(3) + sqrt(5))` एक अपरिमेय संख्या है।
तर्क (R): किन्हीं भी दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय होता है।
पर्याय
अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं और तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परन्तु तर्क (R) अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।
अभिकथन (A) गलत है, परन्तु तर्क (R) सही है।
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उत्तर
अभिकथन (A) सही है, परन्तु तर्क (R) गलत है।
स्पष्टीकरण:
अभिकथन (A): `(sqrt(3) + sqrt(5))` एक अपरिमेय संख्या है।
मान लीजिए कि `(sqrt(3) + sqrt(5))` एक परिमेय संख्या x है।
`x = sqrt(3) + sqrt(5)`
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
`x^2 = (sqrt(3) + sqrt(5))^2`
`x^2 = 3 + 5 + 2sqrt(15)`
`x^2 = 8 + 2sqrt(15)`
`x^2 - 8 = 2sqrt(15)`
`(x^2 - 8)/2 = sqrt(15)`
चूँकि x एक परिमेय संख्या है, इसलिए `(x^2 - 8)/2` भी एक परिमेय संख्या है।
लेकिन `sqrt(15)` अपरिमेय है।
यह एक विरोधाभास है।
अतः, `(sqrt(3) + sqrt(5))` अपरिमेय है।
अभिकथन (A) सत्य है।
तर्क (R): किन्हीं भी दो अपरिमेय संख्याओं का योग सदैव अपरिमेय होता है।
दो अपरिमेय संख्याओं पर विचार करें: `sqrt(2)` और `-sqrt(2)`।
Sum = `sqrt(2) + (-sqrt(2)) = 0`
चूँकि 0 एक परिमेय संख्या है, इसलिए दो अपरिमेय संख्याओं का योग हमेशा अपरिमेय नहीं होता।
तर्क (R) असत्य है।
