SSC (Marathi Medium) १० वीं कक्षा - Maharashtra State Board Question Bank Solutions for Mathematics 2 - Geometry [गणित २ - भूमिती]

आकृती मध्ये रेषा PR वर्तुळाला बिंदू Q मध्ये स्पर्श करते. या आकृतीच्या आधारे खालील प्रश्नाचं उत्तर लिहा.

जर ∠TAS = 65°, तर ∠TQS आणि कंस TS यांची मापे सांगा.

वर्तुळाची त्रिज्या 10 सेमी आहे , त्याच्या एका वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ 100 चौसेमी आहे, तर तिच्या संगत विशाल वर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ काढा. (π = 3.14) 

लघुवर्तुळपाकळीचे क्षेत्रफळ 3.85 चौसेमी व संगत केंद्रीय कोनाचे माप 36° असल्यास त्या वर्तुळाची त्रिज्या काढा.

कंसाचे माप 90° आणि त्रिज्या 7 सेमी असलेल्या वर्तुळपाकळीची परिमिती काढा.

O आणि P केंद्र असलेली वर्तुळे बिंदू A मध्ये आतून स्पर्श करतात. जर, BQ = 9, DE = 5, तर वर्तुळाच्या त्रिज्या शोधण्यासाठी खालील कृती करा. 

उकल: मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या R मानू. 

लहान वर्तुळाची त्रिज्या r मानू.

OA, OB, OC आणि OD या मोठ्या वर्तुळाच्या त्रिज्या

∴ OA = OB = OC = OD = R

PQ = PA = r

OQ = OB - BQ = `square`

OE = OD - DE = `square`

P केंद्र असलेल्या वर्तुळात दोन जीवांच्या आंतरविभाजनाच्या गुणधर्मानुसार

OQ × OA = OE × OF

`square xx "R" = square xx square` (∵ OE = OF)

R² - 9R = R² - 10R + 25

R = `square`

AQ = 2r = AB - BQ

2r = 50 - 9 = 41

r = `square = square`

दिलेल्या आकृतीतील, जीवा EF || जीवा GH तर सिद्ध करा, जीवा EG ≅ जीवा FH. पुढे दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरा आणि सिद्धता लिहा.

सिद्धता:

रेख GF काढला.

∠EFG = ∠FGH .........`square` (i)

∠EFG = `square` ........… [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय] (ii)

∠FGH = `square` .......… [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय] (iii)

∴ m(कंस EG) = `square` ......[(i), (ii) व (iii) वरून]

जीवा EG ≅ जीवा FH ..............[एकरूप कंसांच्या संगत जीवा]

सिद्ध करा: एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले कोन हे एकरूप असतात.

पक्ष : ∠PQR व ∠PSR एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले कोन आहेत, कंस PTR हा त्या कोनांनी अंतर्खंडित केलेला कंस आहे.

साध्य : ∠PQR ≅ ∠PSR

सिद्धता: 

m∠PQR = `1/2 xx` [m(कंस PTR)] .......(i) `square`

m∠`square = 1/2 xx` [mकंस PTR] ........(ii) `square`

m∠`square` = m∠PSR ..................[(i) व (ii) वरून]

∴ ∠PQR ≅ ∠PSR

खालील प्रमेय सिद्ध करा:

एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले सर्व कोन एकरूप असतात.

आकृतीमध्ये, जीवा LM ≅ जीवा LN आणि ∠L = 35°, तर

i. m(कंस MN) = किती?

ii. m(कंस LN) = किती? 

आकृतीमध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ, ∠PSR = 110°, तर m(कंस PQR) = किती?

आकृतीमध्ये, `square`PQRS हा चक्रीय चौकोन आहे. बाजू PQ ≅ बाजू RQ, ∠PSR = 110°, तर m(कंस QR) = किती? 

आकृतीमध्ये, वर्तुळाच्या दोन जीवा EF आणि GH परस्परांना समांतर आहेत. O वर्तुळकेंद्र असेल, तर ∠EOG ≅ ∠FOH दाखवा.

खालील आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ ΔABC मध्ये अंतर्लिखित असून बाजू AB, बाजू BC व बाजू AC ला अनुक्रमे L, M व N बिंदूत स्पर्श करते. या वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. सिद्ध करा, की : A(ΔABC) = `1/2`(AB + BC + AC) × r

`square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. m(कंस ABC) = 230°. तर ∠ABC, ∠CDA, ∠CBE, यांची मापे काढा.

सोबतच्या आकृतीत, `square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे. m(कंस BC) = 90° आणि ∠DBC = 55°, तर ∠BCD चे माप काढा.

वरील आकृतीत जीवा PQ आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू T मध्ये छेदतात. जर ∠STQ = 58° आणि ∠PSR = 24°, तर ∠STQ = `1/2` [m(कंस PR) + m(कंस SQ)] या विधानाचा पडताळा घेण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.

कृती:

ΔPTS मध्ये,

∠SPQ = ∠STQ - `square`  .......[∵ त्रिकोणाच्या बाहयकोनाचे प्रमेय.]

∴ ∠SPQ = 34°

∴ m(कंस QS) = 2 × `square`° = 68°  .......[∵ `square`]

तसेच m(कंस PR) = 2∠PSR = `square`°

∴ `1/2` [m(कंस QS) + m(कंस PR)] = `1/2` × `square`° = 58°  .......(I)

परंतु  ∠STQ = 58° .........(II) [दिलेले]

∴ `1/2` [m(कंस PR) + m(कंस QS)] = ∠______   ........[(I) व (II) वरून]

वरील आकृतीत ∠L = 35° असेल, तर

1. m(कंस MN) = किती?
2. m(कंस MLN) = किती?

उकल:

1. ∠L = `1/2` m(कंस MN) ............(अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)
   ∴ `square = 1/2` m(कंस MN)
   ∴ 2 × 35 = m(कंस MN)
   ∴ m(कंस MN) = `square`
2. m(कंस MLN) = `square` - m(कंस MN) ...........(कंसाच्या मापाची व्याख्या)
   = 360° - 70°
   ∴ m(कंस MLN) = `square`

आकृती मध्ये रेख RS हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचा व्यास आहे. बिंदू T हा वर्तुळाच्या बाह्य-भागातील बिंदू आहे. तर दाखवा, की ∠RTS हा लघुकोन आहे.

आकृती मध्ये जीवा AC आणि जीवा DE बिंदू B मध्ये छेदतात. जर ∠ABE = 108° आणि m(कंस AE) = 95° तर m(कंस DC) काढा.

आकृती मध्ये, रेख AB हा केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचा व्यास आहे. अंतर्लिखित कोन ACB चा दुभाजक वर्तुळाला बिंदू D मध्ये छेदतो. तर रेख AD ≅ रेख BD हे सिद्ध करा. पुढे दिलेल्या सिद्धतेतील रिकाम्या जागा भरून ती पूर्ण करा आणि लिहा.

सिद्धता : रेख OD काढला.

∠ACB = ______ ....(अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन)

∠DCB = ______ .....(रेख CD हा ∠C चा दुभाजक)

m(कंस DB) = ______ ....(अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय)

∠DOB = ______ ....(कंसाच्या मापाची व्याख्या) (I)

रेख OA ≅ रेख OB .......... ______ (II)

∴ रेषा OD ही रेख AB ची ______ रेषा आहे. (I) व (II) वरून

∴ रेख AD ≅ रेख BD