Question

सत्यापित कीजिए कि द्विघात समीकरण (p – q)x² + (q – r)x + (r – p) = 0 के मूल बराबर हैं जब q + r = 2p है।

Answer 1

मान लीजिए कि गुणांक A = p – q, B = q – r और C = r – p हैं।

ध्यान दें कि A + B + C = (p – q) + (q – r) + (r – p) = 0.

इसका अर्थ है कि x = 1 इस समीकरण का हमेशा एक मूल होता है।

मूलों के बराबर होने के लिए, दोनों मूल x = 1 होने चाहिए।

हम जानते हैं कि मूलों का गुणनफल `C/A` होता है।

इसलिए, `(r - p)/(p - q) = 1`

r – p = p – q

r + q = p + p

q + r = 2p

यह शर्त दी गई शर्त q + r = 2p से मेल खाती है।

किसी द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल बराबर होने के लिए, विविक्तकर D = b² – 4ac शून्य होना चाहिए।

विभेदक (D) = (q – r)² – 4(p – q)(r – p)

व्यंजक में `p = (q + r)/2` प्रतिस्थापित करें और D = 0 के लिए हल करें।

चक्रीय गुणांकों (A + B + C = 0) का गुण, सत्यापन का एक अधिक सुरुचिपूर्ण तरीका है।

अतः, यह सत्यापित होता है कि जब q + r = 2p हो, तो मूल बराबर होते हैं।