Question

सिद्ध कीजिए:

`(tan θ)/(1 - cot θ) + (cot θ)/(1 - tan θ) = 1 + tan θ + cot θ`

Answer 1

साध्य:

1. बायाँ पक्ष और cot θ को tan θ के पदों में व्यक्त कीजिए:

बायाँ पक्ष = `(tan θ)/(1 - cot θ) + (cot θ)/(1 - tan θ)`

इसलिए `cot θ = 1/(tan θ)`:

बायाँ पक्ष = `(tan θ)/(1 - 1/tan θ) + (1/tan θ)/(1 - tan θ)`

2. भाजकों को सरल कीजिए:

बायाँ पक्ष = `(tan θ)/((tan θ - 1)/(tan θ)) + 1/(tan θ(1 - tan θ))`

बायाँ पक्ष = `(tan^2 θ)/(tan θ - 1) + 1/(tan θ(1 - tan θ))`

3. भाजकों को समान बनाएँ (ध्यान दें कि tan θ – 1 = – (1 – tan θ):

बायाँ पक्ष = `(tan^2 θ)/(tan θ - 1) - 1/(tan θ(tan θ - 1))`

बायाँ पक्ष = `(tan^3 θ - 1)/(tan θ(tan θ - 1))`

4. घनों के अंतर का सूत्र लागू करें (a³ – b³ = (a – b)(a² + ab + b²)):

tan³ θ – 1 = (tan θ – 1)(tan² θ + tan θ + 1)

इसे वापस व्यंजक में प्रतिस्थापित करें:

बायाँ पक्ष = `((tan θ - 1)(tan^2 θ + tan θ + 1))/(tan θ(tan θ - 1))`

5. (tan θ – 1) को रद्द करें और विभाजित करें:

बायाँ पक्ष = `(tan^2 θ + tan θ + 1)/(tan θ)`

बायाँ पक्ष = `(tan^2 θ)/(tan θ) + (tan θ)/(tan θ) + 1/(tan θ)`

बायाँ पक्ष = tan θ + 1 + cot θ

बायाँ पक्ष = 1 + tan θ + cot θ = दायाँ पक्ष