Advertisements
Advertisements
प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि स्पर्श बिन्दु से स्पर्श रेखा पर खींचा गया लम्ब वृत्त के केन्द्र से होकर जाता है।
Advertisements
उत्तर
माना हम केंद्र O वाले एक वृत्त पर विचार करें। मान लीजिए कि AB एक स्पर्श रेखा है जो वृत्त को P पर स्पर्श करती है।
हमें यह सिद्ध करना है कि AB पर P पर लंबवत रेखा O केंद्र से होकर गुजरती है।
मान लीजिए कि AB पर P पर लम्ब, O से होकर नहीं जाता है। मान लीजिए कि यह एक अन्य बिंदु O से होकर जाता है। OP और OP को मिलाएं।
चूँकि AB पर P पर लम्ब O' से होकर गुजरता है, इसलिए,
∠OPB = 90° … (1)
O वृत्त का केंद्र है और P संपर्क बिंदु है। हम जानते हैं कि केंद्र को मिलाने वाली रेखा और वृत्त की स्पर्शरेखा से संपर्क बिंदु एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
∴ ∠OPB = 90° … (2)
समीकरणों (1) और (2) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
∠OPB = ∠OPB … (3)
चित्र से यह देखा जा सकता है कि,
∠OPB < ∠OPB … (4)
इसलिए, OPB = OPB संभव नहीं है।
इसलिए, AB पर P से होकर जाने वाला लम्ब, O के केंद्र से होकर जाता है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
एक बिन्दु Q से एक वृत्त की स्पर्श रेखा की लम्बाई 24 cm तथा Q की केन्द्र से दूरी 25 cm है। वृत्त की त्रिज्या है।
यदि एक बिन्दु P से O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर PA, PB स्पर्श रेखाएँ परस्पर 800 के कोण पर झुकी हों, तो ∠POA बराबर है:
सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के किसी व्यास के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ समांतर होती हैं।
एक बिन्दु A से, जो एक वृत्त के केन्द्र से 5 cm की दूरी पर है, वृत्त पर स्पर्श रेखा की लम्बाई 4 cm है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
एक वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज ABCD खींचा गया है सिद्ध कीजिए AB + CD = AD + BC
आकृति में XY तथा X'Y', O केन्द्र वाले किसी वृत्त पर दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं और स्पर्श बिन्दु C पर स्पर्श रेखा AB, XY को A तथा X'Y' को B पर प्रतिच्छेद करती है। सिद्ध कीजिए कि ∠ AOB = 90°
4 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के परिगत एक त्रिभुज ABC इस प्रकार खींचा गया है कि रेखाखंड BD और DC (जिनमें स्पर्श बिन्दु D द्वारा BC विभाजित है) की लम्बाईयाँ क्रमश: 8 cm और 6 cm हैं (देखिए आकृति)। भुजाएँ AB और AC ज्ञात कीजिए।
यदि त्रिज्या 3 cm वाले एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ ऐसी खींची जाएँ कि उनके बीच का कोण 60° हो, तो प्रत्येक स्पर्श रेखा की लंबाई होगी ______।
केंद्र O वाले वृत्त पर किसी बाहरी बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई OP से सदैव छोटी होती है।
यदि किसी बिंदु P से त्रिज्या a और केंद्र O वाले वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण 90° है, तो OP = `asqrt(2)` होता है।
