Question

रेडियो टाँवरों का उपयोग रेडियो और टेलीविज़न सहित विभिन्न संचार सेवाओं को प्रसारित करने के लिए किया जाता है। टाँवर या तो स्वयं ऐंटेना के रूप में कार्य करता है या अपनी संरचना पर एक या एक से अधिक ऐंटेना को सहारा देता है। इसी अवधारणा पर आधारित, एक रेडियो स्टेशन का टाँवर दो खंडों ‘A’ और ‘B’ में बनाया गया था। टाँवर को बिंदु ‘O’ से तारों द्वारा सहारा दिया गया है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है)। टाँवर के आधार और बिंदु ‘O’ के बीच की दूरी 6 मीटर है। बिंदु ‘O’ से खंड ‘B’ के शीर्ष का उन्नयन कोण 30° है तथा खंड ‘A’ के शीर्ष का उन्नयन कोण 60° है।

उपर्युक्त दी गई जानकारी के आधार पर, निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. बिंदु ‘O’ से खंड ‘B’ के शीर्ष तक तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।    1
2. बिंदु ‘O’ से खंड ‘A’ के शीर्ष तक तार की लंबाई ज्ञात कीजिए।    1
3. 1. AB की दूरी ज्ञात कीजिए।    2
      अथवा
   2. Δ OPB का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।    2

Answer 1

दिया है: OP = 6 मीटर

∠ POB = 30°

∠ POA = 60°

(i) समकोण त्रिभुज Δ OРВ में,

∠ OPB = 90°

cos 30° = `(OP)/(OB)`

`sqrt3/2 = 6/(OB)`

`sqrt3 xx OB = 6 xx 2`

`OB = 12/sqrt3`

= `(12 xx sqrt3)/(sqrt3 xx sqrt3)`

= `(12 xx sqrt3)/3`

= `4sqrt3` मीटर

(ii) समकोण त्रिभुज Δ APO में,

cos 60° = `(OP)/(OA)`

`1/2 = 6/(OA)`

OA = 6 × 2

= 12 मीटर

(iii) (a) समकोण त्रिभुज Δ BPO में,

tan 30° = `(BP)/(OP)`

`\implies 1/sqrt(3) = (BP)/6`

`\implies` BP = `6/sqrt(3) xx sqrt(3)/sqrt(3)`

= `6/3 sqrt(3)`

= `2sqrt(3)` मीटर

समकोण त्रिभुज Δ APO में,

tan 60 = `(AP)/(OP)`

`sqrt3 = (AP)/6`

AP = `6sqrt3`

∴ AB = AP – BP

= `6sqrt3 - 2sqrt(3)` 

= `4sqrt(3)` 

= 4 × 1.73 

= 6.92 मीटर

अथवा

(b) समकोण त्रिभुज ΔBPO में,

tan 30° = `(BP)/(OP)`

`\implies 1/sqrt(3) = (BP)/36`

BP = `6/sqrt(3)`

= `6/sqrt(3) xx sqrt(3)/sqrt(3)`

= `(6 sqrt(3))/3`

= `2sqrt(3)` मीटर

अब, ΔOPB का क्षेत्रफल = `1/2 xx "ऊँचाई" xx "आधार"`

= `1/2 xx BP xx OP`

= `1/2 xx 2sqrt(3) xx 6`

= `6 sqrt(3)`

= 6 × 1.73

= 10.38 मीटर²