Question

Prove the following :

cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = `1/16`

Answer 1

L.H.S. = cos 20°· cos 40° · cos 60° · cos 80°

`= 1/2 xx (2  cos 20^circ *  cos 40^circ) xx 1/2 xx cos 80^circ        ...[2 cos "A" * cos "B" = cos ("A + B") + cos ("A" * "B")]`

`= 1/2 [cos 60^circ + cos (- 20^circ)] xx 1/2 xx cos 80^circ`

`= 1/2 (cos 60^circ +  cos 20^circ) xx 1/2 xx cos 80^circ`

`= 1/2 (1/2 + cos 20^circ) xx 1/2 cos 80^circ`

`= 1/8 cos 80^circ + 1/4 cos 20^circ *  cos 80^circ`

`= 1/8 cos 80^circ + 1/4 xx 1/2 (2 cos 20^circ *  cos 80^circ)   ...[2 cos "A" + cos "B" = cos ("A + B") + cos ("A - B")]`

`= 1/8 cos 80^circ + 1/8 [cos 100^circ + cos (- 60)^circ]`

`= 1/8 cos 80^circ + 1/8 [cos (180^circ - 80^circ) + cos 60^circ]`

`= 1/8 cos 80^circ + 1/8 [- cos 80^circ + 1/2]`

`= 1/8 cos 80^circ - 1/8 cos 80^circ + 1/16`

`= cancel(1/8 cos 80^circ) - cancel(1/8 cos 80^circ) + 1/16`

`= 1/16`

= R.H.S.