Question

Prove the following trigonometric identities.

(1 + cot A − cosec A) (1 + tan A + sec A) = 2

Answer 1

We have to prove  (1 + cot A − cosec A) (1 + tan A + sec A) = 2

We know that, `sin^2 A + cos^2 A = 1`

So.

`(1 + cot A − cosec A) (1 + tan A + sec A) = (1 + cosA/sin A - 1/ sinA) (1 + sin A/cos A + 1/cos A)` 

`= ((sin A + cos A - 1)/sin A)((cos A + sin A + 1)/cos A)`

`= ((sin A + cos A -1)(sin A + cos A  + 1))/(sin A cos A)`

`= ({(sin A + cos A) - 1}{(sin A + cos A) + 1})/(sin A cos A)`

`= ((sin A + cos A)^2 -1)/(sin A cos A)`

`= (sin^2 A + 2 sin A cos A + cos^2 A - 1)/(sin A cos A)`

`= ((sin^2 A + cos^2 A) + 2 sin A cos A - 1)/(sin A cos A)`

`= (1 + 2 sin A cos A  -1)/(sin A cos A)`

`= (2 sin A cos A)/(sin A cos A)`

= 2

Hence proved.