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प्रश्न
ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक ठोस लंब वृत्तीय शंकु 180 cm ऊँचाई वाले पानी से पूरे भरे एक लंब वृत्तीय बेलन में इस प्रकार रखा जाता है कि यह उसकी तली को स्पर्श करें। बेलन में बचे हुए पानी का आयतन ज्ञात कीजिए, यदि बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या के बराबर है।
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उत्तर
(i) जब भी हम एक ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु को पानी से भरे लम्ब वृत्तीय बेलन में रखते हैं,
फिर एक ठोस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन सिलेंडर से निकाले गए पानी के आयतन के बराबर है।
(ii) एक सिलेंडर में पानी की कुल मात्रा सिलेंडर के आयतन के बराबर है।
(iii) बेलन में बचे पानी का आयतन = लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन – लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन।
अब, यह देखते हुए
एक लम्ब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई = 120 cm
लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या = 60 cm
∴ एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= `1/3 pir^2 xx h`
= `1/3 xx 22/7 xx 60 xx 60 xx 120`
= `22/7 xx 20 xx 60 xx 120`
= 144000π cm3
∴ एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन
= सिलेंडर से गिरे पानी का आयतन
= 144000π cm3 ...[बिंदु (i) से]
दिया गया है, एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ऊँचाई = 180 cm
और एक लम्ब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या
= लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या
= 60 cm
∴ एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन
= πr2 × h
= π × 60 × 60 × 180
= 648000π cm3
तो, एक लम्ब वृत्तीय बेलन का आयतन
= एक सिलेंडर में पानी की कुल मात्रा
= 648000π cm3 ...[बिंदु (ii) से]
बिंदु (iii) से,
सिलेंडर में बचे पानी की मात्रा
= एक सिलेंडर में पानी की कुल मात्रा – सिलेंडर में शंकु रखने पर सिलेंडर से गिरे पानी की मात्रा
= 648000π – 144000π
= 504000π
= `504000 xx 22/7`
= 1584000 cm3
= `1584000/(10)^6 m^3`
= 1.584 m3
अतः, सिलेंडर में बचे पानी की आवश्यक मात्रा 1.584 m3 है ।
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