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प्रश्न
मान लीजिए कि XY-तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय L है और L में R = {(L1, L2) : L1 समांतर है L2 के} द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है। रेखा y = 2x + 4 से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
(i) स्वतुल्य:
R = {(L1, L2) : L1 समांतर है L2 के}
R स्वतुल्य है क्योंकि कोई भी रेखा L1 स्वयं के समांतर होती है, अर्थात, (L1, L1) ∈ R।
∴ R स्वतुल्य है।
(ii) सममित:
अब, मान लीजिए (L1, L2) ∈ R
⇒ L1, L2 के समांतर है।
⇒ L2, L1 के समांतर है।
⇒ (L2, L1) ∈ R
∴ R सममित है।
(iii) संक्रामक:
अब, मान लीजिए (L1, L2), (L2, L3) ∈ R
⇒ L1, L2 के समांतर है। साथ ही, L2, L3 के समांतर है।
⇒ L1, L3 के समांतर है।
∴R सकर्मक है।
अतः, R एक तुल्यता संबंध है।
रेखा y = 2x + 4 से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय उन सभी रेखाओं का समुच्चय है जो रेखा y = 2x + 4 के समांतर हैं।
रेखा y = 2x + 4 का ढलान m = 2 है।
यह ज्ञात है कि समांतर रेखाओं का ढलान समान होता है।
दी गई रेखा के समांतर रेखा y = 2x + c के रूप की है, जहाँ c ∈ R है।
इसलिए, दी गई रेखा से संबंधित सभी रेखाओं का समुच्चय y = 2x + c द्वारा दिया गया है, जहाँ c ∈ R है।
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