Question

ज्या अंकगणिती श्रेढीचे पहिले पद ‘p’ आहे. दसरे पद ‘q’ आणि शेवटचे पद ‘r’ आहे. तर त्या श्रेढीतील सर्व पदांची बेरीज `((p + r)(q + r - 2p))/(2(q - p))` एवढी आहे हे दाखवा.

Answer 1

सिद्धता:

येथे, t₁ = p, t₂ = q and t_n = r

साधारण फरक (d) = t₂ – t₁ = q – p

अंकगणिती श्रेढीतील एकूण पदांची संख्या काढू.

t_n = a + (n – 1)d   ...(सूत्र)

∴ r = p + (n – 1) × (q – p)

∴ r – p = (n – 1) × (q – p)

∴ (n – 1) × (q – p) = r – p

∴ `(n - 1) = (r - p)/(q - p)`

∴ `n = (r - p)/(q - p) + 1`

∴ `n = (r - p + q - p)/(q - p)`

∴ `n = (r + q - 2p)/(q - p)`

अंकगणिती श्रेढीतील n पदांची बेरीज

`S_n = n/2 (t_1 + t_n)`

= `(r + q - 2p)/(2(q - p)) (p + r)`

= `((r + q - 2p)(p + r))/(2(q - p))`,

∴ `S_n = ((r + p)(q + r - 2p))/(2(q - p))`