Question

If x = `"pab"/(a + b)`, prove that `(x + pa)/(x - pa) - (x + pb)/(x - pb) = (2(a^2 - b^2))/(ab)`.

Answer 1

x = `"pab"/(a + b)`

⇒ `x/(pa) + b/(a + b)`

Applying componendo and dividendo

`(x + pa)/(x - pa)` = `(b + a + b)/(b - a - b)`

`(x + pa)/(x - pa)` = `(a + 2b)/(-a)`

`(x + pa)/(x - pa)` = `-(a + 2b)/(a)`    ....(i)

Again, `x/(pb)` = `a/(a + b)`

Applying componendo and dividendo,

`(x + pb)/(x - pb)` = `(a + (a + b))/(a - (a + b))`

`(x + pb)/(x - pb)` = `(2a + b)/(-b)`

`(x + pb)/(x - pb)` = `-(2a + b)/(b)`   ...(ii)

L.H.S. = `(x + pa)/(x - pa) - (x + pb)/(x - pb)`

= `(-(a + 2b)/(a)) - (-(2a + b)/(b))`

= `-(a + 2b)/(a) + (2a + b)/(b)`

= `(-b(a + 2b) + a(2a + b))/(ab)`

= `(-ab - 2b^2 + 2a^2 + ab)/(ab)`

= `(2a^2 - 2b^2)/(ab)`

= `(2(a^2 - b^2))/(ab)`

= `(2(a^2 - b^2))/(ab)`
= R.H.S.