Question

If the quadratic equation (c² – ab) x² – 2 (a² – bc) x + b² – ac = 0 in x, has equal roots, then show that either a = 0 or a³ + b³ + c³ = 3abc ?

Answer 1

The given quadratic equation is (c² – ab)x² – 2(a² – bc)x + b² – ac = 0.

Here, 

A = c² – ab

B = – 2(a² – bc)

C = b² – ac

If the given quadratic equation has equal roots, then its discriminant is zero.

∴ D = 0

⇒ B²  – 4AC = 0
⇒[–2 (a² – bc)]² – 4(c² –  ab)(b² –  ac) = 0
⇒ 4(a² – bc)² – 4(c²b² – ac³ – ab³ + a²bc) = 0
⇒ 4(a⁴ + b²c² – 2a²bc ) – 4(c²b² – ac³ – ab³ + a²bc) = 0
⇒ a⁴ + b²c² – 2a²bc – b²c² + ac³ + ab³ – a²bc = 0
⇒ a⁴ + ab³ + ac³ – 3a²bc = 0
⇒ a(a³ + b³ + c³ – 3abc) = 0
⇒ a = 0 or a³ + b³ + c³ – 3abc = 0
⇒ a = 0 or a³ + b³ + c³ = 3abc