Question

For the following matrices verify the associativity of matrix multiplication i.e. (AB) C = A(BC):

`A=[[4       2        3],[1       1          2],[3         0          1]]`=`B=[[1        -1          1],[0         1            2],[2           -1          1]]` and  `C= [[1       2       -1],[3       0         1],[0         0         1]]` 

Answer 1

(AB)C=A(BC)

`⇒ ([[4     2       3],[1        1       2],[3        0        1]][[1        -1         1],[0           1               2],[2        -1          1]])` `[[1         2       -1],[3         0          1],[0        0          1]]=[[4       2        3],[1       1            2],[3       0         1]]` `([[1      -1       1],[0          1           2],[2        -1             1]] [[1      2       -1],[3        0           1],[0          0             1]])`

`⇒([[4+0+6         -4+2-3              4+4+3],[1+0+4           -1+1-2              1+2+2],[3+0+2                   -3+0-1             3+0+1]])`  `[[1     2      -1],[3        0          1],[0         0            1]]=[[4       2         3],[1         1         2],[3          0          1]]` `([[1-3+0       2-0+0        -1-1+1],[0+3+0       0+0+0            0+1+2],[2-3+0      4-0+0        -2-1+1]])`

⇒`[[10    -5        11],[5      -2       5],[5        -4     4]] [[1     2     -1],[3        0          1],[0        0      1]]=[[4        2       3],[1         1         2],[3      0      1]] [[-2         2      -1],[3       0       3],[-1         4        -2]]`

⇒`[[10-15+0     20-0+0      -10-5+11],[5-6+0       10-0+0          -5-2+5],[5-12+0        10-0+0                -5-4+4 ]]=[[-8+6-3        8+0+12        -4+6-6],[-2+3-2       2+0+8          -1+3-4],[-6+0-1     6+0+4         -3+0-2]]`

⇒`[[-5     20    -4],[-1     10      -2],[-7       10      -5]]`  =  `[[-5     20    -4],[-1     10      -2],[-7       10      -5]]`

∴ LHS=RHS 

Hence proved.