Question

Find the missing figures in the following table:

x	0	5	10	15	20	25
y	7	11	-	18	-	32

Answer 1

Here y₀ = 7

y₁ = 11

y₂ = ?

y₃ = 18

y₄ = ?

y₅ = 32

Since only four values of f(x) are given

The polynomial which fits the data is of degree three.

Hence fourth differences are zeros.

Δ⁴y_k = 0

(i.e) (E – 1)⁴y_k = 0

(i.e) (E⁴ – 4E³ + 6E² – 4E + 1)y_k = 0  ........(1)

Put k = 0 in (1)

(E⁴ – 4E³ + 6E² – 4E + 1)y₀ = 0

E⁴y₀ – 4E³y₀ + 6E²y₀ – 4Ey₀ + y₀ = 0

y₄ – 4y₃ + 6y₂ – 4y₁ + y₀ = 0

y₄ – 4(18) + 6y₂ – 4(11) + 7 = 0

y₄ – 72 + 6y₂ – 44 + 7 = 0

y₄ + 6y₂ = 109  .........(2)

Put k = 1 in (1)

(E⁴ – 4E³ + 6E² – 4E + 1)y₁ = 0

[E⁴ y₁ – 4E y₁ + 6E² y₁ – 4Ey₁ + y] = 0

y₅ – 4y₄ + 6y₃ – 4y₂ + y₁ = 0

32 – 4(y₄) + 6(18) — 4(y₂) + 11 = 0

32 – 4y₄ + 108 – 4y₂ + 11 = 0

– 4y₄ – 4y₂ + 151 = 0

4y₄ + 4y₂ = 151  .........(3)

Solving equation (1) and (2)

Equation (1) × 4 ⇒ 4y₄ + 24y₂ = 436
Equation (2)       ⇒ 4y₄ +   4y₂  = 151
                               (–)   (–)        (–)      
                                        20y2  = 285

y₂ = `285/20`

⇒ y₂ = 14.25

Substitute y₂ = 14.25 in equation (1)

y₄ + 6(14.25) = 109

y₄ + 25.50 = 109

y₄ = 109 – 85.5

∴ y₄ = 23.5

∴ Required two missing values are 14.25 and 23.5.