Question

Express `tan^-1 [(cos x)/(1 - sin x)], - pi/2 < x < (3pi)/2` in the simplest form.

Answer 1

`tan^-1 [(cos x)/(1 - sin x)]`

`= tan^-1 [(cos^2  x/2 - sin^2  x/2)/(cos^2  x/2 + sin^2  x/2 - 2 sin  x/2  cos  x/2)]`

`= tan^-1 [(cos^2  x/2 - sin^2  x/2)/(cos  x/2 - sin  x/2)^2]`

`= tan^-1 [((cos  x/2 - sin  x/2)(cos  x/2 + sin  x/2))/(cos  x/2 - sin  x/2)^2]`

[∵ a² – b² = (a + b) (a – b)]

`= tan^-1 [(cos  x/2 + sin  x/2)/(cos  x/2 - sin  x/2)]`

`= tan^-1 [((cos  x/2)/(cos  x/2) + (sin  x/2)/(cos  x/2))/((cos  x/2)/(cos  x/2) - (sin  x/2)/(cos  x/2))]`

[∵ Divide each term by cos `x/2`]

`= tan^-1 [(1 + tan  x/2)/(1 - tan x/2)]`

`= tan^-1 [(tan  pi/4 + tan  x/2)/(1 - tan  pi/4 tan  x/2)]`

`= tan^-1  [tan (pi/4 + x/2)] = pi/4 + x/2`