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प्रश्न
दिया है कि `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि संख्या `5 - 2sqrt2` भी एक अपरिमेय संख्या होगी।
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उत्तर
दत्त: `sqrt(2)`
साध्य: `5 - 2sqrt(2)`
उपपत्ति:
1. इसके विपरीत मान लीजिए:
मान लीजिए कि `5 - 2sqrt(2)` एक परिमेय संख्या है।
2. परिमेयता की परिभाषा:
यदि `5 - 2sqrt(2)` एक परिमेय संख्या है, तो इसे `5 - 2sqrt(2) = p/q` के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हैं तथा q ≠ 0 है।
3. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें:
`5 - p/q = 2sqrt(2)`
`(5q - p)/q = 2sqrt(2)`
`(5q - p)/(2q) = sqrt(2)`
4. घटकों का विश्लेषण करें: चूंकि p और q पूर्णांक हैं, इसलिए 5q – p एक पूर्णांक है और 2q भी एक पूर्णांक है। अतः, बायां पक्ष `(5q - p)/(2q)` एक परिमेय संख्या होनी चाहिए।
5. विरोधाभास की पहचान करें: समीकरण का तात्पर्य है कि एक परिमेय संख्या `sqrt(2)` के बराबर है। हालाँकि, यह दिया गया है कि `sqrt(2)` एक अपरिमेय संख्या है।
6. निष्कर्ष: यह मान लेना कि `5 - 2sqrt(2)` एक परिमेय संख्या है, एक विरोधाभास की ओर ले जाता है। इसलिए, `5 - 2sqrt(2)` अवश्य ही एक अपरिमेय संख्या होगी।
